Los Triángulos Leonard-Pascal: son un conjunto de
triángulos infinitos formados por números enteros, donde la diagonal cero izquierda
(0Di) y la diagonal cero derecha
(0Dd) es representada por la variable j,
y el conjunto de las cantidades colocadas en las posiciones intermedias a
partir de la segunda fila es el resultado, de la suma de las dos cantidades
colocadas en las posiciones diagonal derecha e diagonal izquierda las cuales
están ubicadas por encima de la posición seleccionada. La variable j = N, N
representa el conjunto de los números naturales, pero j > 1. Los triángulos
Leonard-Pascal son generados por este binomio: j(a + b)n cuando
la variable j = 1 entonces surge el conocido triangulo de pascal, pero cuando
la Variable j>1, entonces surgen los
infinitos triángulos Leonard-Pascal que poseen diversas Utilidades matemáticas.
En los triangulo
Leonard-Pascal, el conjunto de posiciones van aumentando en cada fila, al mismo
ritmo que aumentan los números naturales. Las posiciones es un concepto fundamental
en los triángulos Leonard-Pascal, el concepto posición es totalmente diferente
al concepto cantidad. La posición está relacionada con el concepto Cartesiano
de par ordenado, creado por el matemático René Descartes. La cantidad está
representada por símbolos llamados números, los cuales son colocado en cada
unas de las posiciones que están determinada en el triangulo Leonard-Pascal,
Los números son colocados en cada unas de la posiciones mediante una mecánica matemática llamada
algoritmo.
Fila: es el conjunto
de posiciones que están colocadas de manera horizontal en cualquier Triangulo Leonard – Pascal seleccionado.
Estas son nombradas y simbolizadas en:
0F = fila cero, 1F= fila uno, 2F= fila dos y así sucesivamente hasta extenderse
al infinito.
El numero de fila es igual a n, entonces la formula es;
#F = n, entonces n ≥ 0, donde n es elemento de N y N representa el conjunto de los números
naturales,
La fila cero (0F),
posee una sola posición y representa el punto de partida para las demás posiciones.
La fila uno (1F), posee dos extremos y carece de posición intermedia. La fila
dos (2F), posee dos extremos y una posición intermedia. A
partir de la fila tres de un Triangulo
Leonard-Pascal, las filas tienen tres partes fundamentales las cuales son:
extremo inicial, extremo final y posiciones intermedias.
Extremo
inicial: es la primera posición de una fila en cualquier
triangulo Leonard-Pascal seleccionado.
Extremo
final: es la última posición de una fila en cualquier
triangulo Leonard-Pascal seleccionado.
Posiciones
intermedias: son un conjunto de posiciones colocadas
entre el extremo inicial y el extremo final.
Posición
intermedia: es la posición colocada en medio del
extremo inicial y el extremo final.
Columna: es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical
en cualquier Triangulo Leonard-Pascal.
Las columnas se
clasifican en: columnas izquierdas, columna central y columnas derechas.
Columnas izquierdas: Es el conjunto de posiciones que están
colocadas de manera vertical y están
ubicadas a la izquierda de la columna central. Las cuales son nombradas y
simbolizadas con las siguientes
representaciones: Ci = columna izquierda, 1Ci=primera columna izquierda, 2Ci =
segunda columna izquierda, 3Ci = tercera columna izquierda y así sucesivamente
hasta extenderse al infinito.
Columna central: es un conjunto de posiciones que están
colocadas de manera vertical y que divide cada Triangulo Leonard - Pascal
en dos partes iguales. Está colocada en la posición central del
triangulo seleccionado. El símbolo que representa la columna central es: 0C. La columna central
es el punto de partida del conjunto de las columnas izquierdas y el conjunto de las columnas derechas.
El conjunto de
posiciones que poseen todas las columnas derechas son idénticas al conjunto de
posiciones que poseen todas las columnas izquierdas.
Columnas derechas. Es el conjunto de posiciones que están
colocadas de manera vertical y están
ubicadas a la derecha de la columna central. Las cuales son nombradas y simbolizadas
con las siguientes representaciones: Cd
= columna derecha, 1Cd=primera columna derecha, 2Cd = segunda columna derecha,
3Cd = tercera columna derecha y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.
En el triangulo
Leonard-Pascal, una posición está definida por un par ordenado compuesto por el
símbolo de una columna y el símbolo de una fila, dentro de dos paréntesis
separados por una coma. J(C, F)
Diagonal: es un
conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal en un triangulo
Leonard-Pascal. Las diagonales están orientadas en la dirección y sentido a la
derecha o a la izquierda de la posición inicial de un triangulo Leonard-Pascal.
Diagonal derecha: es
un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal y están orientadas
en la dirección y sentido a la derecha de un triangulo Leonard-Pascal. Las
cuales son nombradas y simbolizadas con
las siguientes representaciones: Dd = Diagonal derecha, 0Dd = Diagonal
derecha cero, 1Dd = Diagonal derecha uno, 2Dd = Diagonal derecha dos y así
sucesivamente hasta extenderse al infinito
Diagonal izquierda:
es un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal y están
orientadas en la dirección y sentido a la izquierda de un triangulo
Leonard-Pascal. Las cuales son nombradas y simbolizadas con las siguientes representaciones: Di =
Diagonal izquierda, 0Di = Diagonal izquierda cero, 1Di = Diagonal izquierda
uno, 2Di = Diagonal izquierda dos y así sucesivamente hasta extenderse al
infinito.
El conjunto de
posiciones que poseen todas las diagonales derechas son idénticas al conjunto
de posiciones que poseen todas las diagonales izquierdas, por lo tanto 0Di=0Dd.
La diagonal cero
está definida por la formula general: n ≥ 0 donde n es elemento de N y N representa el conjunto de los números
naturales.
0D= jn +1/ jn.
0Di=0Dd =0D
Formula
general para la diagonal uno:
1D =jn, donde n ≥ 1 donde n es elemento de N y N representa el conjunto de los números naturales.
La posición (1Cd, 5F) es una posición valida
en este triangulo L-P, pero la posición (1Cd, 4F) es una posición invalida o
farsa en este triangulo L-P, debido a que no está definida. Este triangulo L-P
posee 28 posiciones valida.
El numero de fila es igual a n, entonces la formula es; #F = n, entonces n ≥ 0, donde n = N y N representa el conjunto de los números
naturales.
La cantidad de
posiciones que existen en cada fila es
igual a n+1. Esta es la formula #P = n + 1
#P = Numero de posiciones,
n ≥ 0, n = N. Donde N es igual al conjunto de los números naturales.
Observemos este
problema, ¿Cuantas posiciones posee la fila ocho?
8F es el numero de
fila entonces n = 8.
Aplicando la formula
#P = n +1 = 8+1= 9, esto indica que en la fila ocho existen nueves posiciones.
El famoso triangulo de pascal es un
elemento del conjunto de los infinitos triángulos que se pueden formar
utilizando este algoritmo.
Con los triángulos Leonard-Pascal se resuelven el coeficiente del binomio expresado de la forma: j(a + b)n.
2(a + b)1 = 2(a + b) = 2a + 2b.
2(a + b)2 = 2(a2 + 2ab + b2) =2a2 + 4ab +2b2.
2(a + b)3 = 2(a3+3a2b+3ab2+b3)= 2a3+6a2b+6ab2+2b3.
Si observamos comprobaremos que todos los coeficientes del desarrollo del binomio 2(a + b)n están solucionados por el primer triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2.
La formula de la sucesión 2n /2n -1 , siendo n≥0, n es igual a cualquier numero entero positivo. Con el triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2 tenemos la solución de esta sucesión infinita, en la primera diagonal izquierda (0Di) y la primera diagonal derecha (0Dd), conocida como la diagonal cero.
Siendo n=0 entonces 2n /2n -1 = 20 /2o -1 = 20 /2 -1 = 1 /0.5 = 2.
Siendo n=1 entonces 2n /2n -1 = 21 /21 -1 = 21 /2 0 = 2 /1 = 2.
Siendo n=2 entonces 2n /2n -1 = 22 /22 -1 = 22 /21 = 4 /2 = 2.
Siendo n=3 entonces 23 /23 -1 = 23 /23 -1 = 23 /2 2 = 8 /4 = 2.
La sucesión 2n, siendo n ≥ 1 n es igual a cualquier número entero positivo, la sucesión infinita de números positivos pares (2, 4, 6, 8…), está representada en la diagonal derecha uno (1Dd) y la diagonal izquierda uno (1Di).
Siendo n=1 entonces 2n = 2(1) = 2.
Siendo n=2 entonces 2n = 2(2) = 4.
Siendo n=3 entonces 2n = 2(3) = 6.
Siendo n=4 entonces 2n = 2(4) = 8.
La sucesión 2n, siendo n ≥ 1, n es igual a cualquier número entero positivo, la sucesión infinita 2n = (2, 4, 8, 16,…), está representada en la suma de las cantidades que están ubicadas en el conjunto de posiciones de cada fila. Iniciamos sumando en la fila cero (0F), luego en la fila uno (0F), después en la fila dos (2F) y así sucesivamente hasta extenderse al infinito. Obsérvenos triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2
Siendo n=1 entonces 2n = 21 = 2. 0F =2.
Siendo n=2 entonces 2n = 22 = 4. 1F =2+2=4
Siendo n=3 entonces 2n = 23 = 8. 2F =2+4+2=8
Siendo n=1 entonces 2n = 24 = 16. 3F =2+6+6+2=16
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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triamgulo_Leonard-Pascal.jpghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triamgulo_Leonard-Pascal.jpghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Las_Posiciones_de_un_Trianguko_Leonard-Pascal.jpghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Las_Posiciones_de_un_Trianguko_Leonard-Pascal.jpghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Las_Partes_de_un_Triamgulo_Leonard-Pascal.jpg
