El Inventor Dominicano Jose Joel Leonardo

Poliedro: Es un cuerpo Geométrico, el cual esta compuesto por cuatro o mas caras poliédricas, que se unen entre si formando un solo cuerpo. Ejemplos:

Todos los poliedros están estructurados por tres partes fundamentales las cuales son, vértices,caras y arista, pero cada unas de estas parte que lo estructuran poseen diferentes características.

Todas las caras poliedricas están representadas por polígonos.

De acuerdo al profesor Jose Joel Leonardo los vértices, las aristas y las caras son clasificadas de las siguientes forma:

Clasificación de vértices

Vertice poliedrico: Son cada uno de los puntos comunes a tres o mas aristas, y dichos puntos estan ubicados en posiciones interiores, intermedias y exteriores de un poliedro dado.

Vertice poliedrico interior: Es un punto comun a tres o mas aristas interiores, los cuales estan ubicados en las partes huecas de un poliedro dado.

Vertice poliedrico intermedio: Es un punto comun a tres o mas aristas intermadias y estos puntos comunes estan colocados en posiciones que definen un poliedro covexo.

Vertice poliedrico exterior: Es un punto comun a tres o mas aristas exteriores, los cuales estan ubicados en la parte estrellada de un poliedro dado.

Vertices uniformes: son puntos comunes a tres o mas aristas, donde convergen el mismo numero de cara y en el mismo orden.

Vertices poliedrico interiores uniformes: son puntos comunes  a tres o mas aristas interiores, los cuales estan ubicados en las partes huecas de un poliedro dado y en cada unos de los puntos comunes, convergen el mismo numero de cara y en el mismo orden.

Vertices poliedrico intermedios uniformes: Son puntos comunes a tres o mas aristas intermadias, estos puntos comunes estan colocados en posiciones que definen un poliedro covexo y en ello convergen el mismo numero de cara y en el mismo orden.

Vertices poliedrico exteriores uniformes: Son puntos comunes a tres o mas aristas exteriores, los cuales estan ubicados en la parte estrellada de un poliedro dado y en cada unos de los puntos comunes, convergen el mismo numero de cara y en el mismo orden.

Clasificación de Aristas

Arista poliedrica:   Es cada linea comun a dos caras poligonales, del conjunto de las cara poligonales que intengran un poliedro dado.

Arista poliedrica interior: Es cada linea comun a dos caras interiores poligonales, las cuales estan colocadas en las posiciones interiores de un poliedro dado.

 Arista poliedrica intermedia: Es cada linea comun a dos caras intermedias poligonales y cuando estas linas comunes se unen en los vertices intermedios definen un poliedro convexo.

 Arista poliedrica exterior: Es cada linea comun a dos caras exteriores poligonales, las cuales estan colocadas en las  posiciones exteriores de un poliedro dado.

 Arista uniforme: Es cada una de las lineas comunes a dos caras poligonales uniforme, del conjunto de caras concruentes que integran un poliedro.

Arista poliedrica interior uniforme: Es cada linea comun a dos caras interiores poligonales uniforme, cullas lineas estan colocadas en las partes interiores de un poliedro dado y las dos caras interiores poligonales uniforme, pertenecen al conjunto de caras concruentes que integran el  poliedro dado.

Arista poliedrica intermedia uniforme: Es cada linea comun a dos caras intermedias poligonales uniforme , cuando estas lineas comunes se unen en los vertices intermedios uniforme, definen un poliedro convexo y estas dos caras intermedias poligonales uniforme, pertenecen al conjunto de caras concruentes que integran el  poliedro dado.

Arista poliedrica exterior uniforme: Es cada linea comun a dos caras exteriores poligonales uniforme, cullas lineas estan colocadas en las partes exteriores de un poliedro dado y las dos caras exteriores poligonales uniforme, pertenecen al conjunto de caras concruentes que integran el  poliedro dado.

Clasificación de Caras

Caras poliedricas: Es cada una de las caras poligonales que integran un poliedro dado.

Cara poliedrica interior: Es una cara poligonal, la cual el conjunto de puntos que integra dicha cara poligonal, no pueden ser colocado simultaniamente en un solo plano, poque la caras poliedricas estan ubicadas en la posicion hueca del poliedro dado.

  Cara poliedrica intermedia: Es una cara poligonal, la cual el conjunto de puntos que integra dicha cara poligonal, pueden ser colocado simultaniamente en un solo plano, por que las caras poliedricas estan ubicadas en la posicion plana del poliedro dado.

Cara poliedrica exterior: Es una cara poligonal, la cual el conjunto de puntos que integra dicha cara poligonal, no pueden ser colocado simultaniamente en un solo plano, poque la caras poliedricas estan ubicadas en la posicion estrellada del poliedro dado.

Caras uniforme: son dos a ma caras poligonales que son iguales entre si.

Caras poliedricas interiores uniforme: son cada unas de las caras poligonales uniforme que integran el poliedro, la cuales estan ubicadas en cada una de las posiciones hueca de un poliedro dado.

Caras poliedricas intermedias uniforme: son cada unas de las caras poligonales uniforme que integran el poliedro, la cuales estan ubicadas en cada una de las posiciones plana de un poliedro dado.

Caras poliedricas exteriores uniforme: Son cada unas de las caras poligonales uniforme que integran el poliedro, la cuales estan ubicadas en cada una de las posiciones estrellada de un poliedro dado.

Caras poliedricas regulares:  Son cada unas de las caras poligonales regulares que integran un poliedro dado.

Caras poliedricas irregulares: Son cada unas de las caras poligonales irregulares que integran un poliedro dado.

Las caras poliédricas también se clasifican, según la forma que poseen, cada cara poligonal que integra cada una de las caras del poliedro dado. Ejemplo:

a)    Caras poliédricas triangulares.

b)   Caras poliédricas cuadradas.

c)    Caras poliédricas pentagonales.

De esta manera se seguirán nombrado sucesivamente, según la forma que posea cada unas de las caras poligonales, que integran poliedro dado.

Clasificación de poliedros de acuerdo al profesor Jose Joel Leonardo.

Los poliedros se clasifican teniendo en cuenta, cuatros conceptos fundamentales, los cuales son:

1)   Estructura.

2)   Regularidad.

3)   Posición.

4)   Forma. 

Clasificación de poliedros según la estructuración que lo constituye.

Estos se clasifican en:

a)    Poliedros simple.

b)   Poliedros compuestos.

Clasificación de poliedros según la posición de las caras poligonales.

Estos se clasifican en:

1)   Poliedros  planos o convexos.

2)   Poliedros cóncavos.

Clasificación de poliedros según el grado de regularidad.

 Estos se clasifican en:

1)   Poliedros regulares.

2)   Poliedros Semirregulares.

3)   Poliedros Semiregulares.

4)   Poliedros  irregulares.

Clasificación de poliedros según la forma de las caras poligonales.

Estos se clasifican en:

a)    Poliedros triangulares.

b)   Poliedros no triangulares.

c)    Poliedros mixtos.

Poliedros simple o básico: Son los poliedros están estructurados por caras intermedias, aristas intermedias y vértices intermedios. Todos los poliedros convexos pertenece al conjunto de los poliedros simples o basicos.

 Poliedros simple combinados: Son aquellos que estan formado mediante la combinacion de dos o mas poliedros simples y el resultado  es igual a otro  poliedro convexo.

Ejemplo: Si poseemos dos piramides congruentes, las cuales poseen una base cuadrada regular y las caras que posee son triangulos equilateros.

+

Si combinamos estas dos piramides y la unimos por la  base cuadrada de ambas, el resurtado es otro poliedro convexo. 

+.=

este poliedro fue llamado por el matematico Norman W. Johnsoncon el nombre de bipiramide cuadrada, tambien es conocido como uno de los poliedros platonico cuyo nombre es octaedro regular. 

Poliedros convexos:son aquellos que todas sus caras poligonales poseen la cualidad de ser colocadas totalmente en un solo plano.

Ejemplo:

Poliedros Convexo Regulares:son cuerpos tridimencionales geometricos cullas caras intermedias son todas poligonos regulares uniforme, todos los vertice intermedios y todas las aristas que estructuran el poliedro tambien son uniforme.

Solamente existen cincos poliedros regulares convexos, los cuales son:

Poliedro Convexo Regular triangular:son aquellos que todas sus caras intermedia son poligono regulares uniforme de forma triangulares y todos su vertices y arista son uniforme. Son conocidos como los tres deltaedros  convexos regulares

Hasta ahora solo existen tres poliedros convexo regulares triangulares, los cuales son:

Poliedro Convexo Regular no triangular: Son poliedros que todas sus caras intermedia son poligono regulares uniforme de forma  no triangulares, ademas todos su vertices y arista son uniforme. Solamente existe dos poliedros convexos no triangulares regulares, ejemplos:

Poliedros convexos semirregulares:Son poliedros cuyas caras intermedias estan formadas por poligonos regulares de varios tipos y todos su vertices intermedios son uniformes.

Los poliedros semirregulares no estan estruturado por un conjunto de aristas uniformes. Como ejemplos podemos mostrar los 13 poliedros de arquimedes. 

Sólidos arquimedianos
Nombre	Imagen	Caras		Aristas	Vértices	Grupo puntual
Tetraedro truncado	Animación	8	4 × hr 4 × te	18	12 × 3·6·6	Td
Cuboctaedro	Animación	14	6 × cu 8 × te	24	12 × 3·4·3·4	Oh
Cubo truncado	Animación	14	6 × or 8 × te	36	24 × 3·8·8	Oh
Octaedro truncado	Animación	14	8 × hr 6 × cu	36	24 × 4·6·6	Oh
Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor	Animación	26	18 × cu 8 × te	48	24 × 3·4·4·4	Oh
Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor	Animación	26	6 × or 8 × hr 12 × cu	72	48 × 4·6·8	Oh
Cubo romo o cuboctaedro romo (2 formas quirales)	Animación Animación	38	6 × cu 32 × te	60	24 × 3·3·3·3·4	O
Icosidodecaedro	Animación	32	12 × pr 20 × te	60	30 × 3·5·3·5	Ih
Dodecaedro truncado	Animación	32	12 × dr 20 × te	90	60 × 3·10·10	Ih
Icosaedro truncado	Animación	32	20 × hr 12 × pr	90	60 × 5·6·6	Ih
Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor	Animación	62	12 × pr 30 × cu 20 × te	120	60 × 3·4·5·4	Ih
Icosidodecaedro truncado o rombicosidodecaedro mayor	Animación	62	12 × dr 20 × hr 30 × cu	180	120 × 4·6·10	Ih
Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 formas quirales)	Animación Animación	92	12 × pr 80 × te	150	60 × 3·3·3·3·5	I
dr = decágonos regulares; or = octógonos regulares; hr = hexágonos regulares pr = pentágonos regulares; cu = cuadrados; te = triángulos equiláteros

Poliedros. El conjumto infinito de los poliedros prismatico y el conjunto infinito de los poliedros antiprismatico, cullas caras lateraeles son poligonos regulares, también pertenecen al conjunto de los poliedros semirregulares Ejemplos:

Poliedros convexos semirregulares no triangulares: Son poliedros cuyas caras intermedias estan formadas por poligonos regulares de varios tipos , pero no posee  caras intermedias que sean  triangulares y todos su vertices intermedios son uniformes.

Poliedros convexos semirregulares mixtos: Son poliedros cuyas caras intermedias estan formadas por varios tipos de  poligonos regulares, los cuales son de formas triangulares y de formas no triangulares, donde todos sus vertice intermedio son uniformes.Ejemplo:

Poliedros convexos irregulares: Estos estan estructurados por caras intermedias que son poligono irregulares y sus vertice intermedios y sus aristas intermedias no son uniforme. Como ejemplos observaremos onces poliedros del matematico belga Charles Catalan.

Poliedros Compuestos: Son aquellos que estan formado mediante la combinacion de dos o mas poliedros simples y el resultado siempre  es igual a un  poliedro concavo.

Poliedros Concavos: Son poliedros que por lo menos una de sus caras poligonales no pueden ser colocadas totalmente sobre un plano.

Ejemplo:

Poliedros Concavos curvos: Son poliedros que por lo menos una de sus  caras poliedricas  es curva y no pueden ser colocadas totalmente sobre un plano. Ejemplo

 

Poliedros Concavos estrellado: Son poliedros formados  por varias piramides cuyas base se apoyan sobre la caras intermedias de un poliedro convexo, o sobre las caras curbilineas de un poliedro concavo curvo.

 Ejemplo:

Poliedros Concavos estrellado Regular: Son poliedros formados  por varias piramides, donde las caras poligonales de las piramides siempre son triangulos equilateros uniformes, y la base de la piramides se apoyan sobre la caras poligonales intermedias de un poliedro convexo regular, devido a que son conguentes.

Carasteristica de los poliedros concavos estrellados regulares.

a)    Los poliedros concavos estrellados regulares, poseen todas sus caras poligonales exteriores, regulares y  uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos equilateros.

b)   Todas las aristas exteriores son uniforme o iguales entre si.

c)    Todas las aristas intermedias son uniforme o iguales entre si.

d)   Las aristas exteriores son iguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio  son iguales.

Ejemplos:

Poliedros Concavos Estrellado Semi-Regular: Son poliedros de caras uniformes, formados  por varias piramides, donde las caras poligonales de las piramides siempre son triangulos isoceles , y la base de la piramides se apoyan sobre la caras poligonales intermedias de un poliedro convexo regular devido a que son conguentes.

Carasteristica comunes a los poliedros Concavos Estrellado Semi-Regulares.

a)    Los poliedros concavos estrellados semi-regulares, poseen todas sus caras poligonales uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos isoceles.

b)   Todas las aristas exteriores son uniforme o iguales entre si.

c)    Todas las aristas intermedias son uniforme o iguales entre si.

d)   Las aristas exteriores son desiguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio no son iguales.

e) utilizando  el conjunto de los vértices exteriores se forma un poliedro regular plano.

Ejemplos:

Poliedros Concavos estrellado Irregulares:

Son poliedros formados  por varias piramides cuyas base se apoyan sobre la caras intermedias de un poliedro simple o convexo, pero poseen la cualidad de que por lo menos una de las caras poligonales es desigual a las demas caras poligonales que constitullen el poliedro concavo estrellado.

Carasteristica de los poliedros concavos estrellados irregulares.

a)    Los poliedros concavos estrellados irregulares poseen caras poligonales que no son uniformes. Por lo tanto pueden tener, una cara poligonal, varias caras poligonales, o todas sus caras poligonales desiguales entre si.

b)   Todas las aristas exteriores no son uniforme .

c)    Todas las aristas intermedias no son uniforme.

d)   Las aristas exteriores son desiguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio no son uniforme

Ejemplo:

Poliedros Concavos huecos: Son poliedros formados  por varias piramides cuyas base no existen fisicamente, pero se apoyan debajo de las aristas intermedias, que forman un poliedro simple o convexo.

Ejemplo:

Poliedros Concavos huecos regulares: Son poliedros formados  por varias piramides, donde las caras poligonales de las piramides siempre son triangulos equilateros uniformes y cuyas base no existen fisicamente, pero se apoyan debajo de las aristas intermedias, que forman un poliedro  convexo regular.

Carasteristica de los poliedros concavos huecos regulares.

a)    Los poliedros concavos huecos regulares, poseen todas sus caras poligonales interiores, regulares y  uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos equilateros.

b)   Todas las aristas interiores son uniforme o iguales entre si.

c)    Todas las aristas intermedias son uniforme o iguales entre si.

d)   Las aristas interiores son iguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio  son iguales.

Ejemplos:

Poliedros Concavos huecos semi-regulares: Son poliedros formados  por varias piramides, donde las caras poligonales de las piramides son triangulos isoceles uniformes y cuyas base no existen fisicamente, pero se apoyan debajo de las aristas intermedias, que forman un poliedro  convexo regular.

Carasteristica comunes a los poliedros huecos semi-regulares.

a)    Los poliedros concavos huecos semi-regulares, poseen todas sus caras poligonales interiores de forma  uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos isósceles.

b)   Todas las aristas interiores son uniforme o iguales entre si.

c)    Todas las aristas intermedias son uniforme o iguales entre si.

d)   Las aristas interiores no son iguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio no son iguales.

Ejemplos:

Poliedros Concavos huecos irregulares: Son poliedros formados  por varias piramides cuyas base no existen fisicamente, pero la aristas que forman las base se apoyan debajo de las aristas intermedias, que forman un poliedro simple o convexo, pero poseen la cualidad de que por lo menos una de las caras poligonales es desigual a las demas caras poligonales que constitullen el poliedro concavo hueco.

Carasteristica comunes a los poliedros huecos irregulares.

1)   Los poliedros concavos huecos irregulares, poseen sus caras poligonales interiores de forma  no uniformes.

2)   Las aristas interiores no son uniforme.

3)   Las aristas intermedias no son uniforme.

4)   Las aristas interiores no son iguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio no son iguales. Ejemplo:

Poliedros Concavos Estrellado-Huecos.

Son aquellos que están estructurado por un conjunto de caras poligonales interiores las cuales esta definidas por conjuntos de aristas y vértices que son, interiores, exteriores e intermedia.

Poliedros Concavos Estrellado-Huecos regular.

Son aquellos que están estructurado por un conjunto de caras poligonales interiores que son uniforme regulares, las cuales están definidas por conjuntos uniforme de aristas que son, interiores, exteriores e intermedias y todos los vértices interiores son uniforme, todos los vértices exteriores son uniforme y todos los vértices  intermedia también son uniforme.

Carasteristica de los poliedros concavos estrellado- huecos Regulares.

a)    Los poliedros concavos estrellados-huecos regulares, poseen todas sus caras poligonales interiores, regulares y  uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos equilateros.

b)   Todas las aristas interiores son uniforme o iguales entre si.

c)    Todas las aristas intermedias son uniformes e iguales entre si.

d)   Todas las aristas exteriores son uniforme o iguales entre si.

Las aristas interiores son iguales a las aristas intermedias, y las arista intermedias son iguales a las aristas exteriores por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio  son iguales.Ejemplo:

Poliedros Concavos Estrellado-Huecos semi-regular.

Son aquellos que están estructurados por un conjunto de caras poligonales interiores que son uniformes pero no regulares, cuyas caras poligonales están definidas por  conjuntos de arista que son               interiores, exteriores e intermedias y  todos los vértices interiores son uniforme, todos los vértices exteriores son uniforme y todos los vértices  intermedia también son uniforme.

Carasteristica de los poliedros concavos estrellado- huecos Semi-Regulares.

1)   Los poliedros concavos estrellados-huecos semi-regulares, poseen todas sus caras poligonales interiores uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos isoceles.

2)   Todas las aristas interiores son uniforme.

3)   Todas las aristas intermedias son uniforme.

4)   Todas las aristas exteriores son uniforme.

5)   Las aristas interiores no son iguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio no son iguales.Ejemplo:

Poliedros Concavos Estrellado-Huecos irregulares.

Son aquellos que están estructurados por un conjunto de caras poligonales interiores que no son uniformes, cuyas caras poligonales están definidas por  conjuntos de arista que son               interiores, exteriores e intermedias y  todos los vértices interiores no siempre son uniforme, todos los vértices exteriores no siempre son uniforme y todos los vértices  intermedia también no siempre son uniforme.

Carasteristica de los poliedros concavos estrellado- huecos Irregulares.

a)    Los poliedros concavos estrellados-huecos semi-regulares, poseen todas sus caras poligonales interiores no uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos  que pueden ser, isoceles,escaleno, isoceles rectangular, escalenorectangular etcétera.

b)   Todas las aristas interiores no son uniforme.

c)    Las aristas interiores no son iguales a las aristas intermedias, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio no son iguales.

Ejemplo:

Poliedro cóncavo ultra estrellado regular:

Estos son poliedros no convexos, que todas sus caras poliédricas están formadas por triángulos  equiláteros y todos los vértices intermedios son uniformes, todos los  vértices exteriores son uniformes y todos los vértices ultra exteriores también son uniformes.

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Carasteristica de los poliedros concavos ultra estrellados regulares.

a)    Los poliedros concavos ultra estrellados regulares, poseen todas sus caras poligonales ultra exteriores, regulares y  uniformes, las cuales estan constituidas por triangulos equilateros.

b)   Todas las aristas exteriores son uniforme o iguales entre si.

c)    Todas las aristas intermedias son uniforme o iguales entre si.

d)   Todas las aristas ultra exteriores son uniforme o iguales entre si.

e)    Las aristas exteriores son iguales a las aristas intermedias, y son iguales a las aristas ultra exteriores, por lo tanto, el conjunto de todas las aristas que se unen en un vertice intermedio  son iguales.Ejemplo:

Poliedros combinados irregulares:

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones.

Poliedros combinados irregulares plano estrellado: 

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexa o plana y cóncavo estrellada.

Poliedros combinados irregulares plano estrellado triangulares:

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexas  y cóncavo estrellada, pero poseen todas sus caras poliédricas de forma triangulares.

Poliedros combinados irregulares plano estrellado mixtos:

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexa  y cóncavo estrellada pero poseen todas sus caras poliédricas de forma triangulares y de forma no triangulares.

Poliedros combinados irregulares plano hueco:

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexa y cóncavo hueco.

Poliedros combinados irregulares plano hueco triangulares:

 Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexas  y cóncavo hueco, pero poseen todas sus caras poliédricas de forma triangulares.

Poliedros combinados irregulares plano hueco mixtos:

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexas  y cóncavo hueco, pero poseen todas sus caras poliédricas de formas triangulares y de formas no triangulares.

Poliedros combinados irregulares plano estrellado hueco:

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexa o plana, cóncavo hueco y cóncavo estrellada.

Poliedros combinados irregulares plano estrellado hueco triangulares:

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexas, cóncavo estrellada y cóncavo hueco, pero poseen todas sus caras poliédricas de forma triangulares.

Poliedros combinados irregulares plano estrellado hueco no triangulares.

Estos poliedros están formados simultáneamente por caras poligonales  de diferentes posiciones, las cuales son, convexas, cóncavo estrellada y cóncavo hueco, pero poseen todas sus caras poliédricas de formas triangulares y de forma no triangulares.

Clasificación de poliedros según las caras poligonales que los constituyen.

  Los poliedros según las caras poligonales que los constituyen se clasifican en tres grupos que son:

Poliedros Triangulares: Son aquellos que todas las caras poligonales que lo forman son triángulos. Ejemplos:

 

Poliedros no Triangulares: Son aquellos que todas las caras poligonales que los forman no son triángulos.  Ejemplos:

Poliedros mixtos: Son aquellos  que están formados por caras poligonales que son triángulos y caras poligonales que no son triángulos.  Ejemplos:

Poliedros cóncavos curvos: son aquellos que por lo menos una de sus caras poliédricas posee curvatura en uno de sus vértice.

Ejemplo:

Breve historia de los poliedros regulares cóncavos y convexos.

En la antigüedad mucho antes de los tiempo de platón, ya existían poliedros regulares plano o convexos. Según algunos autores el gran genio de las matemáticas, Pitágoras se le atribuyen los descubrimientos de tres poliedros plano regulares. Esto son: el tetraedro regular plano, el exaedro plano regular y el dodecaedro plano regular Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto.

 Teeteto, matemático griego nacido en Atenas c. 417 a. C. - 369 a. C.

Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

En el siglo XV magnánimo pintor Paolo Uccello pinto el pequeño dodecaedro estrellado.

Paolo Uccello nació el 15 de juniode 1397 y murió 10 de diciembre de1475.

En 1496 el polifacético artista, e inventor italiano Leonardo Da vinci pinto varios dibujos de poliedros que fueron publicado por el monje matemático Luca pasioli, en el libro titulado como la divina proporción.

Leonardo Da vinci nació en la cuidad de  Vinci el 15 de abril de 1452 y falleció en Amboise el 2 de mayo de1519, a los 67 años.

Jamnitzer, Wenzel (1508-1585). El llamado  gran dodecaedro estrellado  que en realidad debe ser llamado, gran icosaedro estrellado, fue descubierto por Wenzel  Jamnitzer, en el siglo XVI y gracias a lascontribuciones de Kepler fue reconocido como un poliedro regular

En el siglo XV y siglo XVI fueron descubiertos el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado. Pero la importancia de estos poliedros se la dio  el astrónomo Johannes Kepler, cuando en el año 1619 estableció que estos dos poliedros eran regulares estrellado.

Y 190 años después, en el  1809,  el matemático Luis Poinsot  descubre dos poliedros cóncavos regulares y desde esa fecha hasta nuestro tiempo, 18 de septiembre 2011, se conocen mundialmente  nueve poliedros regulares,  de los cuales  hay tres poliedros que no son regulares.De los nueve poliedros regulares conocidos, solamente estos  seis son regulares

 

Los 14 auténticos Poliedros Regulares

Pero según los estudios y las observaciones que es realizados estos son los 14 poliedros regulares, los cuales pertenecen a dos familia de poliedros diferentes. De la familia de los poliedros convexos hay cincos que son regulares los cuales son: el tetraedro convexos regular, el hexaedro convexo regular, el octaedro convexo regular, el dodecaedro convexo regular y el icosaedro convexo regular.

De la familia de los poliedros cóncavos hay nueve que son regulares los cuales se subdividen en cincos  poliedros regulares  cóncavos estrellados, dos poliedros regulares cóncavo hueco, un poliedro regular ultra estrellado y un poliedro regular cóncavo estrellado hueco.

Los cincos  poliedros regulares cóncavos estrellados.

Los dos poliedros regulares cóncavos huecos

Un poliedro regular cóncavo estrellado  hueco

Un poliedro regular cóncavo ultra estrellado

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